Тыртышников Е.Е. | Лекция 2 по спецкурсу “Алгебра и геометрия тензоров“, 2023 осень | ВМК МГУ

00:00:00 Идеалы в кольце многочленов • В лекции рассматривается понятие идеала в кольце многочленов над произвольным полем. • Идеал - это подмножество, замкнутое относительно операций сложения и умножения и обладающее свойством поглощения. 00:04:08 Теорема Гильберта о базисе • Теорема Гильберта о базисе утверждает, что в кольце многочленов от эн переменных любой идеал является порожденным. • Доказательство теоремы основано на алгоритме Евклида для многочленов от одной переменной и делении с остатком. 00:18:03 Введение словарного порядка • Вводится понятие словарного порядка для многочленов от нескольких переменных. • Вводится лексикографический порядок, основанный на равенстве и неравенстве коэффициентов. 00:24:44 Алгоритм деления с остатком • Автор представляет алгоритм деления с остатком для многочленов, который основан на школьном правиле деления многочлена на многочлен. • Он объясняет, что если следовать этому алгоритму, то остаток будет обладать интересным свойством: любой маном в составе остатка не делится ни на один из старших членов многочленов. 00:36:43 Базис Гребнера • Автор вводит понятие базиса Гребнера, которое является системой многочленов, удовлетворяющей определенным условиям. • Он утверждает, что если система многочленов является базисом Гребнера, то после выполнения деления с остатком, остаток будет равен нулю тогда и только тогда, когда делимое принадлежит идеалу, порожденному многочленами системы. • В заключение, автор просит зрителей подумать о контрпримере, который опровергает эту теорему. 00:40:58 Теорема Гильберта о базисе • Вводится понятие идеала, порожденного многочленами ф1 и фк. • Рассматривается остаток от деления многочлена на идеал и его старший член. 00:50:47 Лемма Диксона • Доказывается лемма Диксона, которая утверждает, что любой мономиальный идеал порождается конечной системой маномов. • Рассматривается устройство мономиального идеала и его связь с линейными комбинациями маномов. 01:01:06 Доказательство леммы Диксона • Доказывается лемма Диксона с помощью индукции по числу переменных. • Рассматриваются идеалы, порожденные маномами из множества с конечным числом переменных. 01:04:53 Построение базиса Гребнера • Рассматривается построение базиса Гребнера и его связь с теоремой Гильберта о базисе. • Обсуждаются алгоритмы построения базиса Гребнера и их эффективность. 01:08:00 Идеалы и порождающие системы • Рассматривается идеал, порожденный всеми мономами с определенной степенью и степенью, зависящей от переменной. • Выбирается максимально возможный маном из этого множества и рассматривается его порождающая система. 01:21:50 Лемма Диксона и геометрический смысл • Лемма Диксона утверждает, что любой маном из исходного мономиального идеала может быть представлен как линейная комбинация маномов из порождающей системы. • Геометрический смысл леммы Диксона заключается в том, что объединение бесконечного множества маномов является объединением конечного множества части этих маномов. 01:24:11 Теорема Гильберта о нулях • Теорема Гильберта о нулях утверждает, что любой многочлен может быть представлен как линейная комбинация старших членов. • Для доказательства теоремы используется лемма Диксона и деление с остатком.