Тыртышников Е.Е. | Лекция 1 по спецкурсу “Алгебра и геометрия тензоров“, 2023 осень | ВМК МГУ

00:00:03 Введение в тензоры • Видео начинается с объяснения, что такое тензоры и как они связаны с матрицами. • Тензоры - это многомерные таблицы, которые могут быть использованы в различных областях, включая математику, физику и компьютерные науки. 00:09:46 Разделение переменных • В алгебре тензоры понимаются как функции с разделенными переменными. • Тензор можно представить как сумму чистых тензоров, каждый из которых является функцией от одной переменной. 00:16:34 Представление тензоров • Любой тензор можно представить как сумму чистых тензоров. • Это связано с тем, что аргументы тензора принимают конечное число значений, что позволяет представить его в виде суммы чистых тензоров. 00:26:00 Примеры и задачи • В видео рассматриваются примеры и задачи, связанные с нахождением тензорного ранга и разложением тензоров. • Обсуждаются трудности, связанные с нахождением минимального тензорного разложения и связи между рангами тензоров в разных полях. 00:35:18 Изучение трехмерных тензоров • Видео переходит к изучению трехмерных тензоров и их разложению на чистые тензоры. • Рассматриваются примеры матриц и их разложение на срезки. 00:39:44 Разложение тензора • В видео обсуждается разложение трехмерного тензора на сумму чистых тензоров. • Рассматривается матрица, которая зависит от значения третьего индекса. 00:47:06 Диагонализация матриц • Если первая срезка невырождена, то матрица не выражена. • Если первая срезка невырождена, то вторая срезка может быть подобна диагональной матрице. 00:50:29 Примеры и следствия • Пример тензора с комплексным рангом меньше вещественного. • Доказательство, что комплексный ранг тензора два на два на два не может превысить трех. • Тензор имеет ранг, равный двум, в случае комплексных тензоров размеров два на два на два. 01:00:00 Введение в алгебраическую геометрию • Видео начинается с обсуждения темы алгебраической геометрии, которая является сложной наукой, но важной для изучения тензорных разложений и алгебраических многообразий. • В видео будет изучаться алгебраическая геометрия, связанная с системами полиномиальных уравнений и идеалами в кольце многочленов. 01:11:16 Идеалы и алгебраические многообразия • Идеал - это множество многочленов, которые зануляются в каждой точке алгебраического многообразия. • Идеалы обладают интересными свойствами, такими как замкнутость относительно сложения и свойства поглощения. • Изучение идеалов позволяет перевести изучение алгебраических многообразий на другой язык. 01:21:03 Примеры и применение • Видео обсуждает важность систем полиномиальных уравнений в задачах криптографии, особенно в случае полей, отличных от комплексных или вещественных. • В следующем видео будет рассмотрено изучение идеалов в кольце многочленов от нескольких переменных. 01:24:55 Идеалы в кольце многочленов • Вводится понятие идеала в кольце многочленов, который представляет собой множество многочленов, удовлетворяющих определенным условиям. • Рассматривается пример идеала, состоящего из всех многочленов, которые делятся на фиксированный многочлен. 01:25:15 Доказательство теоремы • Доказывается теорема о том, что любой идеал в кольце многочленов от одной переменной порождается одним многочленом. • Используется метод деления с остатком для доказательства. 01:28:35 Завершение лекции • Преподаватель просит студентов записать свои имена и группы на листочках для проверки посещаемости. • В следующий раз будет рассмотрена теорема о базисе Гильберта и более сложные случаи идеалов в кольце многочленов.