Тыртышников Е.Е. | Лекция 7 по спецкурсу “Алгебра и геометрия тензоров“, 2023 осень | ВМК МГУ

00:00:00 Введение • Видео начинается с обсуждения радикальных идеалов и алгебраических многообразий. • Радикальный идеал - это такой идеал, что если произведение двух элементов кольца попадает в этот идеал, то хотя бы один из множителей должен принадлежать этому идеалу. 00:03:44 Теорема проекции • Доказывается теорема проекции, которая утверждает, что для любого строгого под многообразия в, существует строгое под многообразие, которое вложено в пэт минус w. • Доказывается, что если в не является алгебраическим над н минус первым координатным кольцом, то в с домиком совпадает с пространством а н минус один. 00:18:02 Случай трансцендентной функции • Рассматривается случай, когда зет не является алгебраическим над н минус первым координатным кольцом. • Доказывается, что в этом случае в с домиком совпадает с пространством а н минус один. 00:23:33 Случай алгебраической функции • Рассматривается случай, когда зет является алгебраическим элементом над н минус первым координатным кольцом. • Доказывается, что в этом случае в с домиком является алгебраическим подмногообразием. 00:36:05 Следствия и обобщения • Из доказанной теоремы можно вывести более общую теорему, которая утверждает, что для любого неприводимого алгебраического многообразия можно выбрать координатные функции, которые образуют базис трансцендентности. • Также можно доказать, что если алгебраическое многообразие приводимо, а первые d координатных осей соответствуют алгебраически независимым координатным функциям, то можно в камерном пространстве вычесть строгое алгебраическое под многообразие, и над каждой точкой оставшегося множества будет находиться одно и то же число точек алгебраического многообразия. 00:47:59 Теорема о строении алгебраического многообразия • В видео обсуждается теорема о строении алгебраического многообразия, которая утверждает, что над каждой точкой многообразия вн без единицы будет ровно столько точек, какова степень расширения. • Идея доказательства состоит в том, чтобы найти под многообразие, в котором минимальный многочлен для координатной функции имеет кратные корни, и затем применить теорему проекции. 01:00:02 Преобразование системы координат • В видео также обсуждается возможность преобразования системы координат таким образом, чтобы первые координатные функции были алгебраически независимыми, а остальные координатные функции были целыми алгебраическими элементами над кольцом рд. • Это преобразование называется преобразованием метра и обеспечивается леммой, предложенной математиком Макс Нетер. 01:03:03 Заключение • В заключении видео автор шутит, что Макс Нетер является отцом алгебраической геометрии, и обсуждает лемму, предложенную Нетер, которая позволяет найти преобразование системы координат для любого неприводимого многообразия. 01:05:41 Введение • В видео обсуждается доказательство теоремы о том, что над каждой точкой аффинного пространства имеется конечное число точек многообразия. 01:10:13 Преобразование координат • Рассматривается преобразование координат, при котором координатная функция становится целым алгебраическим элементом над кольцом координатных функций. 01:18:34 Идеалы и кольца • Обсуждается утверждение о том, что идеал, порожденный координатными функциями, строго меньше, чем идеал координатных функций. • Доказывается утверждение о том, что если идеал, порожденный координатными функциями, совпадает со всем кольцом координатных функций, то над каждой точкой аффинного пространства имеется конечное число точек многообразия.