Обыкновенные дифференциальные уравнения. Часть 3

Внимание! Это моё архивное видео! Актуальную информацию ищите на моём telegram-канале: Ссылка на плейлист: На этом практическом семинаре по дифференциальным уравнениям разбираем сложные и интересные случаи, которые выходят за рамки стандартных методов. В видео подробно решаем 10 примеров из задачника и осваиваем ключевые техники: 🔹 Поиск особых решений: Учимся находить решения-огибающие, которые не входят в общее семейство интегральных кривых. Разбираем на примере уравнения y’² = 4y³(1-y). 🔹 Метод введения параметра: Смотрим, как решать уравнения, где производную y’ сложно выразить в явном виде. Заменяем y’ = p и выражаем x и y через параметр p. 🔹 Понижение порядка: Анализируем несколько мощных techniques для уменьшения порядка дифференциального уравнения: Замена y’ = p(y), когда в уравнении явно нет x. Замена z = y^{(k)}, если в уравнении отсутствуют младшие производные. Метод однородности: Учимся распознавать уравнения, однородные относительно x и y в обобщенном смысле, и делать соответствующую замену x = e^t, y = e^(mt) * z. Все темы подкреплены подробным разбором конкретных задач с построением графиков и объяснением геометрического смысла. Материал будет особенно полезен студентам технических и математических специальностей. Ставьте лайки, делитесь видео с друзьями и подписывайтесь на канал! Впереди еще много разборов и семинаров. Таймкоды: 00:00 - Введение. Начинаем третью практическую часть по дифференциальным уравнениям. 00:40 - Пример 246: Уравнение y’² = 4y³(1-y). Решение заменой y = sin²t, поиск особого решения. Что такое особая интегральная кривая и огибающая семейства. 03:50 - Пример 251: Уравнение y’² x*y’ = y² x*y. Разбор двух случаев, анализ на наличие особых решений. 08:50 - Метод введения параметра: Общая идея. Решение уравнений, не разрешенных относительно производной. 09:00 - Пример решения методом параметра (p = y’). 10:20 - Еще один пример параметризации (y = 2x*y’ y’³). 14:50 - Пример 287: Решение методом параметра с поиском потерянных решений. 18:40 - Понижение порядка: Общее объяснение. Случай, когда уравнение не содержит x или y. 19:20 - Пример понижения порядка заменой y’ = p(y). 21:40 - Пример 426: Понижение порядка для уравнения y*y’’ 1 = y’². 24:50 - Понижение порядка для уравнения, не содержащего y и y’ (замена z = y’’). 28:30 - Метод однородности: Уравнения, однородные относительно y и ее производных. Замена y’ = y*z. 30:50 - Обобщенная однородность: Как подобрать вес m и сделать замену x = e^t, y = e^(mt)*z(t). Детальный разбор сложного примера. 39:40 - Итоги семинара: краткий обзор всех разобранных методов. 44:30 - Заключение и напутствие.
Back to Top