Бином Ньютона: формула, доказательство и Треугольник Паскаля
Бином Ньютона — это формула, которая обобщает привычные нам формул сокращённого умножения (квадрат суммы и куб суммы, например). С помощью Бинома Ньютона можно разложить на слагаемые любую степень суммы. При этом у начинающих учеников возникает несколько проблем:
1. Формула Бинома Ньютона содержит знак суммы — это компактная запись множества слагаемых специального вида;
2. Сами слагаемые тоже не простые. Там есть степени (и это не проблема), а есть биноминальные коэффициенты;
3. Доказательство формулы Бинома Ньютона — отдельная история. Существует несколько способов доказать её, но мы будем опираться на метод математической индукции.
Таким образом, из этого урока вы узнаете:
1. Что такое Бином Ньютона, как выглядит эта формула, что с ней можно делать и что она вообще означает;
2. Что такое биноминальные коэффициенты. Как считается число сочетаний из n элементов по k элементов, при чём тут факториалы и комбинаторика;
3. Кстати, о факториалах. Мы дополним стандартное определение факториала с помощью рекуррентных формул. В частности, 0! = 1 — прямо по определению. Это ни в коем случае не противоречит “классическому“ определению факториала (произведение всех натуральных чисел от 1 до n), но позволяет легко считать большие биноминальные коэффициенты;
4. Затем мы рассмотрим важнейшее свойство биноминальных коэффициентов, на основе которого построим треугольник Паскаля — ещё одну замечательную конструкцию, которую можно использовать для разложения степеней в многочлены даже в том случае, если вы не знаете, что такое Бином Ньютона;
5. Ну и вишенка на торте — мы докажем саму формулу Бинома Ньютона, опираясь на свойства биноминальных коэффициентов и математическую индукцию.
6. А в качестве опции рассмотрим более наглядный метод группировки слагаемых. После чего станет понятно, почему они группируются именно так, как предложено в доказательстве, а никак иначе.:)
В целом хочу отметить, что тема Бинома Ньютона — большая и сложная. Её нельзя объяснить и доказать в коротком видео. Точнее, объяснить-то как раз можно, но доказать — тут нужно детально разобраться в каждом элементе формулы. Поэтому видео получилось довольно объёмным, но при этом максимально полным и информативным.:)
00:00 0. Формула бинома Ньютона
01:55 1. Значок суммы
10:30 2. Биноминальные коэффициенты
16:25 3. Треугольник Паскаля
23:37 4. Доказательство Бинома Ньютона
42:08 5. Другой способ суммирования
Меня зовут Павел Бердов, и я веду этот канал для тех, кто изучает школьную математику 7—11 классов (алгебра, геометрия и стереометрия), готовится к профильному ЕГЭ по математике (или ОГЭ), а также изучает высшую математику в университете (в т.ч. уровня мехмата МГУ). Помимо теории предлагаю вашему вниманию задачи для самостоятельного решения. Поэтому смотрите, изучайте, решайте — и сдавайте экзамены и контрольные работы на пятёрки.:)
1 view
49
9
5 months ago 00:23:49 1
54. Малая теорема Ферма. Часть 2. Алексей Савватеев. 100 уроков математики
5 months ago 00:32:58 1
53. Малая теорема Ферма. Часть 1. Алексей Савватеев. 100 уроков математики
5 months ago 00:13:30 1
Музыкальная математика за 13,5 минут
5 months ago 00:30:28 1
Числа сочетаний. Треугольник Паскаля | Ботай со мной #059 | Борис Трушин |
5 months ago 00:30:13 1
✓ Бином Ньютона. Игра в слова. Числа сочетаний | Комбинаторика | Ботай со мной #057 | Борис Трушин
6 months ago 00:07:26 1
#219. БИНОМ НЬЮТОНА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ
6 months ago 00:25:52 1
3. Визуальное представление бинома Ньютона. Алексей Савватеев. 100 уроков математики - 6 - 7 класс
6 months ago 00:33:31 1
Доказательство формулы бинома Ньютона
6 months ago 00:03:56 1
Бином Ньютона — показывает Савватеев
6 months ago 00:04:47 1
Найти периметр и бином Ньютона Д345
6 months ago 02:54:41 1
Сунын: ЕГЭ по-корейски. Школьный экзамен, который кокнул российских математиков
6 months ago 00:14:25 1
Алгебра и начала анализа. 10 класс. Бином Ньютона /