Акпан ДЖ СГМ - Геометрия Нийенхейса, как новый математический аппарат для изучения геодезически эквивалентных метрик

Доклад Акпана Динмухаммеда Жулдызбайулы “Геометрия Нийенхейса, как новый математический аппарат для изучения геодезически эквивалентных метрик“ на семинаре Современные геометрические методы 30 октября 2024. Две (псевдо-)римановые метрики называются геодезически эквивалентными, если их геодезические совпадают как непараметризованные кривые, то есть как множества. Изучение таких пар — классическая задача дифференциальной геометрии. Первый пример был построен Лагранжем в 1789 году и активно изучался геометрами XIX века. Бельтрами в 1865 году поставил задачу описать (локально) пары геодезически эквивалентных метрик. Задача полностью решена в римановом случае: в размерности два её решил Дини в 1869 году, а в любой размерности — Леви-Чивита в 1896 году. Основатель кафедры дифференциальной геометрии В.Ф.Каган также занимался этой задачей. Например, существенная часть его книги “Субпроективные пространства“ посвящена вопросам исследования геодезически эквивалентных пар. В дальнейшем этими задачами занимались П.К.Рашевский, А.С.Солодовников, а сегодня эту традицию продолжают А.В.Болсинов, П.Й.Топалов, В.С.Матвеев, Б.С.Кругликов и другие. Пусть g — двумерная метрика, тогда если • g имеет сигнатуру ( , ), то есть риманова метрика, то задача описания геодезической пары локально и глобально были разобраны и изучены в работах А.Т.Фоменко, А.В.Болсинова, В.С.Матвеева, В.Н.Колокольцова, П.Й.Топалова, как в регулярных, так и в особых точках. • g имеет лоренцову сигнатуру, то есть является псевдоримановой метрикой, то задача в регулярных точках решена (локально и глобально) в работах А.В.Болсинова, В.С.Матвеева, Г.Пукаччо и П.Й.Топалова. В докладе будут представлены результаты, касающиеся описания геодезических пар для двумерной псевдоримановой метрики в окрестности особой точки. Например, оказывается, что особенности бывают только специального вида и они напрямую связаны с gl-регулярными операторами Нийенхейса. Как и ожидалось, геометрия Нийенхейса играет существенную роль в решении этой задачи. Например, магическая формула Коняева позволяет строить геодезически согласованные метрики для gl-регулярных операторов Нийенхейса. Все базовые определения и конструкции будут даны.