Найти наибольшее значение |z|, если известно, что |z+1/z|=1 // Сергей Фролов / Математический мирок

Какое наибольшее значение может принимать модуль комплексного числа z, если |z 1/z|=1? Перейдём в уравнении, приведённом в условии, от комплексного неизвестного z к вещественным неизвестным x и y. В результате ряда преобразований получим уравнение кривой четвёртого порядка, содержащее только лишь квадраты неизвестных. Сделав замену p=x^2 y^2 и q=x^2−3y^2, приходим к уравнению, содержащему квадрат p и первую степень q. Добавив к уравнению неравенства относительно p и q, следующие из неотрицательности x^2 и y^2, получаем набор условий, которым должны удовлетворять p и q. Геометрическое место точек на плоскости, координаты которых p и q в прямоугольной системе координат Opq удовлетворяют данным условием, представляют собой конечную дугу параболы. Координаты концов этой дуги по оси Op являются, очевидно, наименьшим и наибольшим значениями неизвестного p. Эти значения являются корнями квадратного уравнения, которое несложно построить. Найдя наибольшее и наименьшее значения p, получаем также и наибольшее и наименьшее значения |z| из условия p=|z|^2.