Вариант #8 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2025| Математика Профиль

Начало – 00:00 Задача 1 – 01:47 Угол ACO равен 27°, где O- центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах. Задача 2 – 04:32 Даны векторы a ⃗ (1;1) и b ⃗ (0;7). Найдите длину вектора 8a ⃗ b ⃗. Задача 3 – 08:23 Дано два шара. Радиус первого шара в 13 раз больше радиуса второго. Во сколько раз объём первого шара больше объёма второго? Задача 4 – 11:20 Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,93. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,49. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20. Задача 5 – 13:38 При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г. Задача 6 – 17:40 Найдите корень уравнения 36^(x-5)=1/6 Задача 7 – 21:00 Найдите значение выражения 3√2 cos^2 9π/8-3√2 sin^2 9π/8. Задача 8 – 24:38 На рисунке изображён график y=f^’ (x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-19;3). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [-17;-4]. Задача 9 – 26:59 Мяч бросили под углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле t=(2v_0 sin⁡α)/g. При каком наименьшем значении угла α (в градусах) время полёта будет не меньше 2,1 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью v_0=21 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g=10 м/с^2. Задача 10 – 30:15 Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 384 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов. Ответ дайте в км/ч. Задача 11 – 41:22 На рисунке изображены графики функций видов f(x)=a√x и g(x)=kx, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. Задача 12 – 46:30 Найдите точку максимума функции y=ln⁡〖(x 3)^7 〗-7x-9. Задача 13 – 50:21 а) Решите уравнение log_6⁡(2sin^2 x-3 sin⁡x-1)=0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2;-π]. Разбор ошибок 13 – 01:04:10 Задача 15 – 01:08:56 Решите неравенство log_(1/3)⁡((4-x)(x^2 29))≤log_(1/3)⁡(x^2-10x 24) log_(1/3)⁡(7-x). Разбор ошибок 15 – 01:24:40 Задача 16 – 01:32:16 В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; – в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен. Чему равно r, если общая сумма выплат составит 435 тыс. рублей? Задача 18 – 01:49:44 Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений {x^4 y^2=a^2 x^2 y=|a 1| имеет ровно четыре различных решения. Задача 19 – 02:10:15 На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 6. а) Может ли их сумма составлять 198? б) Может ли их сумма составлять 270? в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 1518? Задача 17 – 02:20:27 Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника ABC вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы AB, пересекает катет BC в точке M. а) Докажите, что ∠BML=∠BAC. б) Найдите площадь треугольника ABC, если AB=20 и CM=3√5. Задача 14 – 02:42:50 Точка M- середина ребра AA_1 треугольной призмы ABCA_1 B_1 C_1, в основании которой лежит треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки B и B_1 перпендикулярно прямой C_1 M. а) Докажите, что одна из диагоналей грани ACC_1 A_1 равна одному из рёбер этой грани. б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если плоскость α делит ребро AC в отношении 1:5, считая от вершины A, AC=20, AA_1=32.