Мантуров ВО Семинар Фоменко - Метод фотографии. Текущее состояние и открытые проблемы

Доклад Мантурова Василия Олеговича “Метод фотографии. Текущее состояние и открытые проблемы“ на семинаре А.Т.Фоменко “Дифф. геометрия и приложения“ 21 октября 2024. В 2023 докладчик сформулировал метод фотографии, позволяющий решать различные уравнения и строить инварианты различных топологических объектов. Мы начинаем с некоторого объекта (например, пятиугольника) и его состояния (например, триангуляции) и задаем данные (например, длины сторон треугольников и правила преобразования данных (например, флип триангуляции). Тогда, используя некоторые естественные геометрические соображения, можно доказать ``бесплатно’’, что такие преобразования данных приводят к решению некоторого уравнения (например, преобразование Птолемея дает решение уравнения пятиугольника) и к построению инвариантов многих объектов (например, кос). После этого можно брать формулу, получающуюся из геометрических данных (например, длин в гиперболическом пространстве). Имея такую формулу, мы ``бесплатно’’ получаем ее алгебраическое доказательство, которое позволяет переходить от геометрических объектов (длин) к более абстрактным объектам (переменным). Этот метод очень обширный. Упомянем лишь несколько направлений дальнейшего исследования: инварианты узлов, кос, многообразий произвольной размерности, решения уравнений пятиугольника, шестиугольника, Янга--Бакстера, а также связь с кластерными алгебрами, тропической геометрией и многими другими разделами математики.