Как решить уравнение sin(x)sin(2x)sin(3x)=4/5? // Сергей Фролов / Математический мирок

Решить уравнение sin(x)sin(2x)sin(3x)=4/5. Решение уравнение базируется на оценке сверху и снизу выражения sin(x)sin(2x). Заменой t=cos(x) переводим выражение в полином t−t^3, определённый на отрезке [−1, 1]. Наиболее точно оценить этот полином сверху и снизу можно наибольшим и наименьшим значением соответственно этого полинома на данном отрезке. В соответствии с теоремой Вейерштрасса, эти значения достижимы в силу непрерывности полинома на отрезке. Однако для нахождения наибольшего и наименьшего значений придётся прибегнуть к дифференцированию полинома для нахождения его стационарных точек. Но предполагается, что поставленную задачу нужно решить элементарными методами, то есть дифференциальное исчисление использовать нельзя. Поэтому для получения оценок воспользуемся хорошо известным соотношением между средним геометрическим и средним арифметическим двух ненулевых величин. В итоге приходим к неравенству для модуля левой части исходного уравнения, которой непосредственно приводит нас к решению уравнения.