Как найти сумму ∑sin(a+kh), где k от 1 до n? // Сергей Фролов / Математический Мирок

В этом видеоролике найдём сумму с общим членом sin(a kh), где k пробегает от 1 до n (здесь a и h — вещественные числа, а n — натуральное число). Другими словами, запишем эту сумму в виде выражения в замкнутой форме. И то же самое проделаем с суммой косинусов, т. е. с суммой с общим членом cos(a kh). Для решения поставленной задачи умножим сумму синусов на удвоенный синус h/2, после чего новый общий член суммы представим в виде разности косинусов по соответствующей тригонометрической формуле. Перейдём от суммы к разности сумм, выполним во второй сумме сдвиг по индексу суммирования. В результате придём к разности сумм с одинаковыми общими членами, но с разными пределами суммирования. В результате вычитания останется лишь разность первого члена первой суммы и последнего члена второй. Для получения искомого результата остаётся лишь разделить полученное выражение на удвоенный синус h/2 b и отдельно рассмотреть случай, когда этот синус равен нулю. Формулу для суммы косинусов можно получить, например, диффере