Maxwell’s equations in terms of the Grassman and Clifford algebra, 2021-04-14

Maxwell’s equations in terms of the Grassman and Clifford algebra Migran N. Gevorkyan Ph.D., Associate Professor of department Applied Informatics and Probability Theory of RUDN University In this paper, we consider two forms of Maxwell’s equations: covariant form in terms of the algebra of external forms (implementation of the Grassmann algebra) and in multivector form (implementation of the Clifford algebra). At the beginning of the report, we give definitions and notations concerning p-forms and p-vectors and also introduce dualization and complement maps. We give an interpretation of the Hodge operator as a composition of two mappings. Then, we use the covariant antisymmetric electromagnetic tensor and the duality map to write out the covariant form of Maxwell’s equations without taking into account the medium. Next, we consider the algebra of multivectors, for which we introduce the multivectors themselves and the geometric multiplication operation. Within the framework of this algebra, which is an implementation of the Clifford algebra, Maxwell’s equations reduce to a single equation. Запись уравнений Максвелла в терминах алгебр Грассмана и Клиффорда Геворкян, Мигран Нельсонович к.ф.-м.н., доц., доц. каф. прикладной информатики и теории вероятностей РУДН В данном докладе рассматривается две формы записи уравнений Максвелла: в ковариантном виде в терминах алгебры внешних форм (реализация алгебры Грассмана) и в мультивекторном виде (реализация алгебры Клиффорда). В начале доклада даются основные определения и обозначения, касающиеся p-форм и p-векторов, вводятся отображения дуализации и двойственности. Дается интерпретация оператора Ходжа как композиции двух отображений. Затем с помощью ковариантного антисимметричного электромагнитного тензора и отображения двойственности вводится ковариантная запись уравнений Максвелла без учета среды, сводящаяся к двум уравнениям. Далее рассматривается алгебра мультивекторов, для чего вводятся собственно сами мультивекторы и операция геометрического умножения. В рамках этой алгебры, являющейся реализацией алгебры Клиффорда, запись уравнений Максвелла сводится к одному уравнению.