Феномен мягкости в дифференциальной топологии. Семинар 3 // Андрей Рябичев / ЛШСМ 2022

В середине прошлого века С. Смейл обнаружил, что сферу в трёхмерном пространстве можно непрерывно вывернуть наизнанку. В процессе выворачивания могут появляться самопересечения, но запрещены изломы (т.е. каждый достаточно маленький кусочек сферы должен быть гладким в любой момент времени). Примерно в то же время Дж. Нэш доказал теорему об изометрическом вложении. Она позволяет, например, вложить в трёхмерное пространство тор, склеенный из прямоугольника, так что в итоге поверхность прямоугольника не будет растянута или сжата, а лишь гладко изогнута. В дальнейшем М. Громов заметил, что оба применённых здесь метода обобщаются на довольно широкий класс геометрических задач, которым присуща некая «гибкость». Разработанная Громовым техника получила название h-принцип и была впоследствии широко популяризирована. В этом курсе мы попробуем увидеть и почувствовать, как работает h-принцип, на нескольких простых примерах. В процессе мы также освоим ряд концептуальных приёмов и инструментов, часто применяющихся во многих других топологических задачах. Примерный план: 1. регулярные гомотопии гладких кривых на плоскости (разминка), 2. векторные расслоения, послойные морфизмы (техническая подготовка), 3. теорема Смейла-Хирша, выворачивание сферы (и другие примеры), 4. мягкость отображений с заданными особенностями (если останется время). Для комфортного понимания курса от слушателей потребуется владение азами теории множеств (отображения, декартово произведение) и анализа (эпсилон-дельта формализм, интуитивное понимание непрерывности и геометрического смысла производной), а также хорошее пространственное воображение. Рябичев Андрей Дмитриевич Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 25-27 июля 2022 г.