Вариант #3 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2026| Математика Профиль| Оформление на 100 Баллов

Начало – 00:00 Задача 1 – 01:00 В треугольнике ABC угол C равен 58°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах. Задача 2 – 04:19 Даны векторы a ⃗ (1;1) и b ⃗ (0;7). Найдите длину вектора 8a ⃗ b ⃗. Задача 3 – 06:38 Радиусы двух шаров равны 9 и 12. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров. Задача 4 – 09:14 Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1. Задача 5 – 13:24 Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,7? Задача 6 – 17:45 Найдите корень уравнения 3^log_27⁡(2x-9) =3. Задача 7 – 19:37 Найдите значение выражения (√13-√7)(√13 √7). Задача 8 – 20:32 На рисунке изображён график y=f^’ (x)- производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены шесть точек: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)? Задача 9 – 21:34 Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f_0=192 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза ν (в м/с) по закону f(ν)=f_0/(1-ν/c) (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c=300 м/с. Ответ дайте в м/с. Задача 10 – 27:05 Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах. Задача 11 – 37:46 На рисунке изображён график функции вида f(x)=a^x. Найдите значение f(-4). Задача 12 – 39:31 Найдите наибольшее значение функции y=20 tg⁡x-20x 5π-6 на отрезке [-π/4;π/4]. Задача 13 – 45:27 а) Решите уравнение 9^(x 1)-2∙3^(x 2) 5=0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (log_3⁡〖3/2〗;√5). Задача 15 – 55:54 Решите неравенство log_5^2 (25-x^2 )-3 log_5⁡(25-x^2 ) 2≥0. Задача 16 – 01:10:33 31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a%), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Найдите a. Задача 18 – 01:33:18 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (9x^2-a^2)/(x^2 8x 16-a^2 )=0 имеет ровно два различных корня. Задача 19 – 01:47:10 На доске написано 12 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 16. а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 18? б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 11? в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел. Задача 17 – 02:10:54 Дан треугольник ABC. Известно, что BC=√37, AB=4, AC=3. На стороне BC построен равносторонний треугольник BDC, при этом точки A и D лежат по разные стороны от прямой BC. а) Докажите, что вокруг полученного четырёхугольника ABDC можно описать окружность. б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей четырёхугольника ABDC до центра его описанной окружности. Задача 14 – 02:27:00 Точка O- точка пересечения диагоналей DC_1 и CD_1 грани CC_1 D_1 D наклонного параллелепипеда ABCDA_1 B_1 C_1 D_1. а) Докажите, что объём многогранника OABB_1 A_1 вдвое больше объёма многогранника OABCD. б) Найдите объём многогранника OABB_1 A_1, если ABCD является прямоугольником, AB=1, BC=4, CC_1=9, а прямая CA_1 перпендикулярна плоскости ABC.