Дифференциальное уравнение 2-го порядка // Сергей Фролов / Математический мирок

Решить обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка (2x^3·y x 1)y’’ 2x^3(y’)^2 2(6x^2·y 1)y’ 6xy^2=0. Будем исходить из гипотезы, заключающейся в том, что левая часть данного дифференциального уравнения представляет собой производную выражения, не содержащего вторую производную y по x. Для восстановления данного выражения воспользуемся тем, что в качестве функции, производная которой является суммой, содержащей в качестве слагаемого произведение f(x)g(x), можно взять функцию F(x)g(x), где F(x) — первообразная функции f(x). Слагаемые, входящие в левую часть дифференциального уравнения, мы и будем рассматривать в качестве таких функций вида f(x)g(x) и будем пытаться восстанавливать для них функции вида F(x)g(x), которые и будут входить в качестве слагаемых в искомое выражение. После того, как выражение, не содержащее второй производной y по x, восстановлено, проинтегрируем по x обе части уравнения. В левой части получим данное выражение, а в правой — константу c1. Таким образом мы добиваемся понижения порядка дифференциального уравнения. Далее действуем аналогично: пытаемся найти выражение, не содержащее производной y по x, производная которого совпадает с левой частью нашего нового дифференциального уравнения 1-го порядка. Далее снова интегрируем обе части уравнения по x. Слева получаем найденное выражение, не содержащее производных, а справа — линейную функцию с1·x c2. Это и будет общим интегралом исходного дифференциального уравнения.