Геометрия 8 класс (Урок№29 - Свойство биссектрисы угла.)

Геометрия 8 класс Урок№29 - Свойство биссектрисы угла. На уроке мы узнаем о свойствах биссектрисы угла, теореме биссектрисы и её следствии. Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины и делящий угол пополам. AD - биссектриса угла BCA Теорема о биссектрисе угла Теорема: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Дано: ∠BAC, AD – биссектриса, M ∈ AD, MK ⊥ AC, MN ⊥ AB. Доказать: MK = MN. Доказательство: ∆AMN = ∆AMK AM – общая гипотенуза, ∠KAM = ∠NAM из условия. В равных треугольниках соответствующие элементы равны. Следовательно, MN = MK. Что и требовалось доказать. Теорема: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Дано: ∠BAC, MK ⊥ AC, MN ⊥ AB, MK = MN Доказать: AM – биссектриса Доказательство: ∆AMN = ∆AMK (по гипотенузе). Следовательно, ∠KAM = ∠NAM, AM – биссектриса ∠BAC. Что и требовалось доказать Свойство биссектрисы имеет следствие: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Дано: AA1, BB1, CC1 – биссектрисы ∆ABC Доказать: AA1 ∩ BB1 ∩ CC1 = O Проведем перпендикуляры из точки М к сторонам треугольника MK ⊥ AC, MP ⊥ BC, MN ⊥ AB. Из того, что ВВ1 и СС1 биссектрисы по доказанному ранее, следует равенство отрезков MK = MN, MK = MP. Поэтому равны отрезки MN = MP. Получается, что точка М равноудалена от сторон угла АВС, значит лежит на его биссектрисе. Таким образом, все биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке М. Что и требовалось доказать.