Вариант #18 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2025| Математика Профиль

Начало – 00:00 Задача 1 – 00:58 Острый угол B прямоугольного треугольника равен 66°. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. Задача 2 – 03:36 Длины векторов a ⃗ и b ⃗ равны 3 и 5, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное произведение a ⃗∙b ⃗. Задача 3 – 06:23 Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A_1, B, C, B_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1 B_1 C_1 D_1, у которого AB=3, AD=4, AA_1=5. Задача 4 – 08:30 Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше 9 задач, равна 0,63. Вероятность того, что А. верно решит больше 8 задач, равна 0,75. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 9 задач. Задача 5 – 11:14 Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,9. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Задача 6 – 15:27 Найдите корень уравнения 3^log_9⁡(4x 1) =9. Задача 7 – 18:48 Найдите значение выражения √(754^2-304^2 ). Задача 8 – 23:21 Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/6 t^3-2t^2 6t 250, где x- расстояние от точки отсчёта в метрах, t- время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 96 м/с? Задача 9 – 25:04 При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pV^k=6,4∙10^6 Па∙м^5, где p — давление в газе (в Па), V — объём газа (в м^3), k=5/3. Найдите, какой объём V (в м^3) будет занимать газ при давлении p, равном 2∙10^5 Па. Задача 10 – 29:27 Первый садовый насос перекачивает 8 литров воды за 2 минуты, второй насос перекачивает тот же объём воды за 7 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 36 литров воды? Задача 11 – 33:26 На рисунке изображены графики функций видов f(x)=k/x и g(x)=ax b, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B. Задача 12 – 39:51 Найдите наибольшее значение функции y=ln⁡(8x)-8x 7 на отрезке [1/16;5/16]. Задача 13 – 44:19 а) Решите уравнение 16^sin⁡x =(1/4)^(2 sin⁡2x ). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π;7π/2]. Задача 15 – 53:44 Решите неравенство log_0,5⁡(x^3-3x^2-9x 27)≤log_0,25⁡〖(x-3)^4 〗. Разбор ошибок 15 – 01:03:10 Задача 16 – 01:15:15 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга. Если ежегодно выплачивать по 1 464 100 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 2 674 100 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r. Задача 18 – 01:30:55 При каких значениях параметра a уравнение (|4x|-x-3-a)/(x^2-x-a)=0 имеет ровно 2 различных решения. Задача 19 – 01:48:11 С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151? в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно? Задача 17 – 01:57:00 В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно. а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны. б) Найдите отношение EH к AC, если ∠ABC=45°. Задача 14 – 02:11:54 Дана прямая призма ABCA_1 B_1 C_1, в основании которой лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. На AB отмечена точка P такая, что AP:PB=3:1. Точка Q делит пополам ребро B_1 C_1. Точка M делит пополам ребро BC. Через точку M проведена плоскость α, перпендикулярная PQ. а) Докажите, что прямая AB параллельна плоскости α. б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок PQ, если AA_1=5, AB=12, cos⁡〖∠ABC〗=3/5.