Алгебра 9 класс (Урок№37 - Свойство геометрической прогрессии.)
Алгебра 9 класс
Урок№37 - Свойство геометрической прогрессии.
Мы узнаем, как решить такую задачу без нахождения первого члена и знаменателя геометрической прогрессии.
Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно её знаменателю, причём знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.
Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии по его номеру. Это позволяет сделать формула n-го члена.
an = a1qn-1
Свойство геометрической прогрессии.
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего её членов.
Верно и обратное утверждение: если в последовательности ненулевых чисел квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то последовательность является геометрической прогрессией.
Таким образом, мы получили, что последовательность ненулевых чисел является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов. Это свойство геометрической прогрессии называется её характеристическим свойством.
Заметим, что при этом модуль каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен арифметическому квадратному корню из произведения предыдущего и последующего
членов, а значит и корню из произведения их модулей.
Корень из произведения двух положительных чисел называется средним геометрическим этих чисел.
Таким образом, модуль каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому модулей предыдущего и последующего членов. Возможно, именно это свойство и дало название последовательности – геометрическая прогрессия.
Вернёмся к задаче, которую мы решали в начале урока. В геометрической прогрессии третий член равен 75, пятый 3. Найти модуль четвёртого её члена.
По характеристическому свойству геометрической прогрессии квадрат её четвёртого члена равен произведению третьего и пятого членов.
Тогда модуль четвёртого члена равен арифметическому квадратному корню из произведения третьего и пятого членов. Разложим число 75 на множители и найдём корень из произведения.
Можно доказать, что квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с некоторого, равен не только произведению своих непосредственных соседей, но и произведению членов прогрессии, находящихся от него на одинаковом расстоянии.
Например, квадрат 10-го члена геометрической прогрессии равен произведению 9-го и 11-го членов, а также 8-го и 12-го, 7-го и 13-го, … 1-го и 19-го.
В геометрической прогрессии 23-й член равен минус 27, а 45-й – минус 3. Модуль какого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому модулей данных членов прогрессии? Найдите этот член прогрессии.
Заметим, что точно посередине между 23-м и 45-м членами арифметической прогрессии находится 34-й её член, поэтому его модуль равен среднему геометрическому модулей 23-го и 45-го членов.
1 view
0
1
1 month ago 00:12:30 1
Задание 1 | ВПР-8 2024 Математика | Действия с дробями
1 month ago 11:59:59 1
Вся Математика за 12 часов, с Нуля до Профиля ЕГЭ.
1 month ago 03:40:24 1
ДОСРОК 2024 | Самый полный разбор. Досрочный ЕГЭ2024 по профильной математике
1 month ago 00:15:19 1
7 класс. ВПР-2022 по математике . Часть 2
1 month ago 00:40:15 1
Производная. Наибольшее и наименьшее значение функции №12 ЕГЭ по профильной математике 2024
1 month ago 06:55:14 2
Все типы заданий 1-10 | Марафон по Математике ОГЭ 2024
1 month ago 00:00:32 1
Видеовизитка Трегубов Егор | Математика 9-11 класс
1 month ago 00:00:30 1
Видеовизитка Абулгаиров Денис | Математика 9-11 класс
1 month ago 00:45:05 1
ВСЕ ТИПЫ 1-5 заданий | Шины | Математика ОГЭ | Дядя Артём
1 month ago 00:12:13 1
5 класс. ВПР по МАТЕМАТИКЕ 2022. 2 часть
1 month ago 00:13:24 1
ВПР по математике в 4 классе | Задание №12 - “Трудные“ задачи | Математика
1 month ago 01:28:21 1
ЕГЭ по математике за 1 час. Вебинар | Математика
1 month ago 00:29:15 1
ЕГЭ 1 часть. Самые сложные задания из №1-12 | Математика | TutorOnline