Практичные числа // Numberphile

Практичное число или панаритмичное число — это положительное целое число n, такое что все меньшие положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы различных делителей числа n. Например, 12 является практичным числом, поскольку все числа от 1 до 11 можно представить в виде суммы делителей 1, 2, 3, 4 и 6 этого числа — кроме самих делителей, мы имеем 5 = 3 2, 7 = 6 1, 8 = 6 2, 9 = 6 3, 10 = 6 3 1 и 11 = 6 3 2. Последовательность практичных чисел (последовательность A005153 в OEIS) начинается с 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150.... Практичные числа использовал Фибоначчи в своей книге Liber Abaci (1202) в связи с задачей представления рациональных чисел в виде египетских дробей. Фибоначчи не определял формально практичные числа, но он дал таблицу представления египетских дробей для дробей с практичными знаменателями. Название «практичное число» дал Шринивасан. Он заметил, что «разбиение денег, веса и других мер, использующие числа, такие как 4, 12, 16, 20 и 28, которые обычно так неудобны, что заслуживают замены на степени 10.» Он переоткрыл ряд теоретических свойств таких чисел и первым попытался классифицировать эти числа, а Стюарт и Серпинский завершили классификацию. Определение практичных чисел делает возможным определить, является ли число практичным путём просмотра разложения числа на простые множители. Любое чётное совершенное число и любая степень двойки является практичным числом. Практичные числа аналогичны простым числам во многих отношениях. Единственное нечётное практичное число — 1, поскольку если n > 2 является нечётным числом, то 2 нельзя представить в виде суммы различных делителей числа n. Шринивасан заметил, что отличные от 1 и 2 практичные числа делятся на 4 и/или 6. Произведение двух практичных чисел является также практичным числом. Более сильное утверждение, наименьшее общее кратное любых двух практичных чисел, является также практичным числом. Эквивалентно, множество всех практичных чисел замкнуто по умножению. Из описания чисел Стюартом и Серпинским можно видеть, что в случае, когда n является практичным числом, а d является одним из его делителей, число n*d должно быть также практичным числом. В множестве всех практичных чисел существует множество простых практичных чисел. Простое практичное число — это либо практичное и свободное от квадратов число, либо практичное и при делении на любой его простой делитель, показатель которого в разложении больше 1, перестаёт быть практичным. Оригинал: Перевод: @MadAstronomer