Доказать, что если ab+bc+ca=0, то abc=m^2·n^3, где a, b, c, m, n — целые // Сергей Фролов / Математический Мирок

Целые числа a, b, c таковы, что ab bc ca=0. Доказать, что abc можно представить в виде произведения квадрата целого числа на куб целого числа. Рассматриваем 2 случая: abc=0 и abc≠0. Во втором случае b c≠0, поэтому a можно выразить через b и c. Находим наибольший общий делитель чисел b и c, после чего сокращаем его в дроби bc/(b c), записываем его же в виде отдельного множителя и приходим к несократимой дроби (её числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами). Из её несократимости следует, что наибольший общий делитель делится на знаменатель этой дроби, откуда и получается доказываемое утверждение.