Вступительная в 10 класс (Матем, Програм). Университетская гимназия при МГУ (Москва). 2023 год

Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать возможность любому участнику вступительного испытания составить представление о структуре будущей проверочной работы, количестве и форме заданий, а также об уровне их сложности. Задания демонстрационного варианта не отображают всех элементов содержания, которые будут включены в проверочную работу по математике. Экзаменационная работа включает в себя 7 заданий. На выполнение работы отводится 75 минут. К каждой задаче требуется написать развернутое решение. Калькулятором и прочим пользоваться запрещено. Обращаю внимание, что еще полезные ссылки прикреплены в подсказках к видео. Ссылка на теоретический плейлист: Поддержать канал: Станьте спонсором канала. Подробнее: Соцсети: Instagram: VK: FB: Twitch: Tiktok: @ Telegram: Тайм-коды: 0:00 Вступление. Обзор работы 3:00 1. Докажите, что при А число - целое, и найдите это число 7:29 2. Решите неравенство 15:00 3. Длины сторон треугольника ABC равны 4, 6 и 8. Вписанная в этот треугольник окружность касается его сторон в точках D, E и F. Найдите площадь треугольника DEF 29:13 4. Числа 𝑥, y, z таковы, что. При каких значениях z сумма 𝑥^2 y^2 максимальна. Найдите это максимальное значение. 35:23 5. Окружность, проходящая через вершину A треугольника ABC, касается стороны BC в точке M и пересекает стороны AC и AB соответственно в точках L и K, отличных от вершины A. Найдите отношение AC : AB, если известно, что длина отрезка LC в два раза больше длины отрезка KB, а отношение CM : BM = 3 : 2 39:17 6. Из аэропорта одновременно вылетают два самолета и сразу набирают скорость и высоту. Они летят по замкнутым круговым маршрутам: первый — по окружности радиуса R, а второй — по окружности радиуса r. Предполагается, что самолеты летят безостановочно с одинаковыми постоянными скоростями и каждый из них облетает свою окружность за целое число часов. Кроме того, не ранее, чем через 43 часа и не позднее, чем через 49 часов после вылета произошли следующие два события: первый самолет облетел свою окружность 4 раза, а второй облетел свою окружность 5 раз, — и разрыв во времени между этими событиями составил не менее двух часов. Найдите отношение r/R. 47:16 Заключение