Исследовать на сходимость ряд ∑exp(−(1+1/2+1/3+...+1/n)) // Сергей Фролов / Математический мирок

Исследовать на сходимость числовой ряд с общим членом exp(−(1 1/2 1/3 ... 1/n)). Отметим, что в показателе экспоненты, фигурирующей в общем члене, находится n-я частичная сумма гармонического ряда, взятая со знаком “минус“. Этот ряд расходится. Поскольку он, при этом, является знакоположительным, его n-я частичная сумма стремится “плюс бесконечности“. Таким образом, показатель степени экспоненты стремится к “минус бесконечности“, поэтому общий член исследуемого ряда стремится к нулю. Таким образом, необходимое условие сходимости для исследуемого ряда выполнено. Для исследования ряда используем неравенство exp(−1/x) больше 1−1/x при x≥1. Его можно доказать с помощью формулы Тейлора в нуле с остаточным членом в форме Лагранжа для функции exp(t). Основываясь на этом нервенстве, получаем оценку для общего члена исследуемого числового ряда, позволяющую для установления его поведения использовать признак сравнения знакоположительных рядов.