Движение шара внутри круглого бильярдного стола // Сергей Фролов / Математический мирок

В точке A, находящейся на расстоянии a от центра круглого биллиарда радиуса R, лежит упругий шарик, размерами которого можно пренебречь. В какую точку B борта нужно его направить, чтобы, дважды отразившись от борта, он снова вернулся в точку A? Будем предполагать, что удар шара о борт является абсолютно упругим, а сам борт является идеально гладким. Тогда можно считать, что отскок шара от борта подчинён закону «угол падения равен углу отражения». Для нахождения точки B достаточно установить расположение этой точки на окружности, моделирующей границу бильярдного стола. Расположение точки однозначно определяется углом AOB, где O — центр бильярдного стола. Таким образом, задача сводится к выражению данного угла через a и R. Для решения задачи найдём связь между углами треугольника AOB и применим теорему синусов, из которой получим квадратное уравнение для косинуса искомого угла, которое необходимо решить.